La paradoja de Condorcet: cuando la mayoría da vueltas en círculo

Imaginemos a tres personas ante tres opciones. La primera prefiere A a B y B a C, la segunda B a C y C a A, la tercera C a A y A a B. Cada una tiene una clasificación nítida, sin la menor contradicción interna.

Comparemos ahora las opciones de dos en dos. Una mayoría prefiere A a B, una mayoría prefiere B a C y una mayoría prefiere C a A. La preferencia colectiva forma un círculo: sea cual sea la opción elegida, una mayoría prefiere otra.

Condorcet describe este fenómeno en su Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, publicado en 1785. Buscaba una regla de decisión fiel y constata que el voto mayoritario puede no designar a ningún ganador.

En la misma época, Jean-Charles de Borda propone un método rival, que atribuye puntos según el rango de cada opción. Siempre designa un vencedor, pero ese vencedor puede perder en un duelo frente a otra opción, lo que plantea un problema simétrico.

En 1951, Kenneth Arrow muestra en Social Choice and Individual Values que la dificultad no es exclusiva del voto mayoritario. En cuanto hay al menos tres opciones, ninguna regla satisface a la vez un pequeño número de condiciones que parecen todas razonables.

El resultado no dice que toda decisión colectiva sea arbitraria. Dice que cada regla sacrifica una de esas exigencias, y que la elección de la regla depende a su vez de un arbitraje entre propiedades deseables que no pueden reunirse.

Una primera lectura, desarrollada en particular por William Riker en Liberalism against Populism en 1982, concluye que la voluntad mayoritaria carece de contenido estable. Quien fija el orden de las votaciones puede entonces orientar el resultado, y el voto sirve sobre todo para poder apartar a los gobernantes.

Una segunda lectura insiste en las condiciones de la paradoja. Duncan Black mostró en 1948 que, si las preferencias se ordenan sobre un mismo eje, con un solo pico cada una, el ciclo desaparece. Para esta lectura, los ciclos son posibles en teoría pero raros en las elecciones reales.

Un resultado electoral depende de las preferencias expresadas, pero también de la regla y del orden en que se confrontan las opciones. Antes de decir lo que quiere una mayoría, hay que saber, por tanto, qué procedimiento la ha hecho hablar.

La paradoja ilumina también una situación frecuente: una asamblea que rechaza sucesivamente cada versión de un texto aunque ninguna alternativa reúna más apoyo. Ese bloqueo puede reflejar un ciclo más que mala voluntad de los participantes.

Para quien busca situarse, la lección es modesta. Tener preferencias coherentes no garantiza que el resultado colectivo lo sea, y un procedimiento de votación merece juzgarse por sus propiedades tanto como por el bando al que favorece.