Le paradoxe de Condorcet : quand la majorité tourne en rond

Imaginons trois personnes devant trois options. La première préfère A à B et B à C, la deuxième B à C et C à A, la troisième C à A et A à B. Chacune a un classement net, sans la moindre contradiction interne.

Comparons maintenant les options deux à deux. Une majorité préfère A à B, une majorité préfère B à C, et une majorité préfère C à A. La préférence collective forme un cercle : quelle que soit l'option retenue, une majorité en préfère une autre.

Condorcet décrit ce phénomène dans son Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, publié en 1785. Il cherchait une règle de décision fidèle, et constate que le vote majoritaire peut ne désigner aucun gagnant.

À la même époque, Jean-Charles de Borda propose une méthode concurrente, qui attribue des points selon le rang de chaque option. Elle désigne toujours un vainqueur, mais ce vainqueur peut perdre en duel face à une autre option, ce qui pose un problème symétrique.

En 1951, Kenneth Arrow montre dans Social Choice and Individual Values que la difficulté n'est pas propre au vote majoritaire. Dès qu'il y a au moins trois options, aucune règle ne satisfait à la fois un petit nombre de conditions qui paraissent toutes raisonnables.

Le résultat ne dit pas que toute décision collective est arbitraire. Il dit que chaque règle sacrifie l'une de ces exigences, et que le choix de la règle relève lui-même d'un arbitrage entre des propriétés désirables qu'on ne peut pas réunir.

Une première lecture, développée notamment par William Riker dans Liberalism against Populism en 1982, en tire que la volonté majoritaire n'a pas de contenu stable. Celui qui fixe l'ordre des votes peut alors orienter le résultat, et le vote sert surtout à pouvoir écarter des gouvernants.

Une seconde lecture insiste sur les conditions du paradoxe. Duncan Black a montré en 1948 que si les préférences se rangent sur un même axe, avec un seul sommet chacune, le cycle disparaît. Pour cette lecture, les cycles sont possibles en théorie mais rares sur des choix réels.

Un résultat de vote dépend des préférences exprimées, mais aussi de la règle et de l'ordre dans lequel les options sont confrontées. Avant de dire ce que veut une majorité, il faut donc savoir quelle procédure l'a fait parler.

Le paradoxe éclaire aussi une situation fréquente : une assemblée qui rejette successivement chaque version d'un texte alors qu'aucune alternative ne recueille davantage de soutien. Ce blocage peut traduire un cycle plutôt qu'une mauvaise volonté des participants.

Pour qui cherche à se situer, la leçon est modeste. Avoir des préférences cohérentes ne garantit pas que le résultat collectif le soit, et une procédure de vote mérite d'être jugée sur ses propriétés autant que sur le camp qu'elle favorise.